發(fā)布時間：2018-10-23 15:22

【摘要】：最近十年,具有隨機場系數(shù)的最優(yōu)控制問題數(shù)值解法正在變?yōu)橐粋�新的研究熱點,與確定性的情況相比,隨機最優(yōu)控制問題數(shù)值解正在起步階段,目前關(guān)于這方面的工作并不多[20,49,81,48,56,54].而這些關(guān)于隨機最優(yōu)控制問題數(shù)值解的文章主要是利用Lagrange乘子法的有效性導出了最優(yōu)性條件并給出了具體的數(shù)值格式.據(jù)我們所知,我們最先考慮了具有隨機場系數(shù)的偏微分方程受限最優(yōu)控制問題的數(shù)值解法并給出了具體的數(shù)值格式及誤差估計.在本論文中,第一章我們主要介紹了問題的研究背景以及目前的研究現(xiàn)狀.第二章我們給出了具有隨機場系數(shù)的拋物方程受限最優(yōu)控制問題的隨機Galerkin逼近格式.首先,我們利用Lions'引理得到了隨機控制問題的最優(yōu)性條件,然后利用K-L展式將隨機問題轉(zhuǎn)化為一個有限維的確定性的最優(yōu)控制問題,接下來我們給出了最優(yōu)性條件的全離散格式并得到了狀態(tài)變量、伴隨狀態(tài)變量和控制變量的先驗誤差估計,最后通過數(shù)值算例驗證了我們的結(jié)論.第三章我們研究了具有隨機場系數(shù)的對流擴散方程受限最優(yōu)控制問題的隨機Galerkin逼近格式.目標泛函是極小化一個消費泛函的數(shù)學期望值.眾多周知,特征有限元方法[32]具有很好的計算穩(wěn)定性,并且從實際的物理背景看,它更能真實的反映出運動本質(zhì).這一章我們結(jié)合特征線方法和隨機Galerkin方法給出了最優(yōu)控制問題的全離散格式,并得到了誤差估計.第四章我們研究了具有隨機場系數(shù)的橢圓方程受限最優(yōu)控制問題的隨機配置方法.我們給出了最優(yōu)控制問題的最優(yōu)性條件,得到了關(guān)于狀態(tài)變量、伴隨狀態(tài)變量和控制變量的先驗誤差估計并利用算例驗證了我們的結(jié)論.本章主要介紹了隨機配置方法和隨機Smolyak逼近格式,當解的光滑性比較好并且隨機變量個數(shù)較大時,Smolyak逼近格式是一種非常高效的配置方法,能在保證較高精度的情況下大大減少配置點的數(shù)量.而對更一般的隨機最優(yōu)控制問題,當狀態(tài)變量關(guān)于隨機變量有某些不可導點或者奇點時,我們可以根據(jù)不可導點對概率空間作分解,在光滑區(qū)域上采用Smolyak逼近格式,在非光滑區(qū)域上通過增加配置點數(shù)量利用低次Lagrange插值函數(shù)作為基底函數(shù)進行逼近,也能在減少總的配置點數(shù)量情況下在整體上得到很好的逼近.第五章我們將隨機配置方法應用到具有隨機場系數(shù)的拋物方程受限最優(yōu)控制問題上.給出了最優(yōu)控制問題的全離散格式以及數(shù)值解的誤差估計.
[Abstract]:In the last ten years, the numerical solution of the optimal control problem with random field coefficient is becoming a new research hotspot. Compared with the deterministic case, the numerical solution of the stochastic optimal control problem is in its infancy. At present, there is not much work in this area [20 / 49 / 81 / 48 / 56 / 54]. In these papers, the optimality conditions of stochastic optimal control problems are derived by using the validity of Lagrange multiplier method and the numerical schemes are given. As far as we know, we first consider the numerical solution of constrained optimal control problem of partial differential equations with random field coefficients, and give the numerical scheme and error estimate. In this paper, the first chapter mainly introduces the research background and current research situation. In chapter 2, we give a stochastic Galerkin approximation scheme for constrained optimal control of parabolic equations with random field coefficients. Firstly, we obtain the optimality conditions of stochastic control problems by using Lions' Lemma, and then transform the stochastic problem into a finite dimensional deterministic optimal control problem by K-L expansion. Then we give a fully discrete scheme of optimality conditions and obtain a priori error estimate for state variables, adjoint state variables and control variables. Finally, a numerical example is given to verify our conclusion. In chapter 3, we study the stochastic Galerkin approximation scheme for constrained optimal control of convection-diffusion equations with random field coefficients. A target functional is a mathematical expectation that minimizes a consumption functional. It is well known that the feature finite element method [32] has good computational stability, and from the actual physical background, it can truly reflect the essence of motion. In this chapter we combine the eigenline method with the stochastic Galerkin method to give the full discrete scheme of the optimal control problem and obtain the error estimates. In chapter 4, we study the stochastic collocation of constrained optimal control problems for elliptic equations with random field coefficients. We give the optimality conditions of the optimal control problem and obtain the priori error estimates for state variables, adjoint state variables and control variables, and verify our conclusion by an example. This chapter mainly introduces the stochastic collocation method and the stochastic Smolyak approximation scheme. When the solution is smooth and the number of random variables is large, the Smolyak approximation scheme is a very efficient collocation method. Can greatly reduce the number of configuration points while ensuring high accuracy. For a more general stochastic optimal control problem, when the state variables have some non-differentiable points or singularities of random variables, we can decompose the probabilistic space according to the non-differentiable points, and adopt the Smolyak approximation scheme on the smooth region. By increasing the number of collocation points in a non-smooth region, the low order Lagrange interpolation function can be used as a base function to approximate the total number of collocation points, and it can also be approximated well on the whole in the case of reducing the total number of collocation points. In chapter 5, we apply the stochastic collocation method to the constrained optimal control problem of parabolic equations with random field coefficients. The full discrete scheme of the optimal control problem and the error estimate of the numerical solution are given.
【學位授予單位】：山東大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82;O232

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本文編號：2289643