發(fā)布時間：2021-01-03 03:10

　　本文研究非凸問題鞍點計算的新算法及其應(yīng)用,主要內(nèi)容分為四個部分.第一部分,我們研究計算無約束鞍點的基于新的優(yōu)化策略的局部極小極大方法（LMM）.首先,我們給出一類推廣的局部極小極大原理,并從連續(xù)動力學(xué)的角度理解LMM能以穩(wěn)定方式計算不穩(wěn)定鞍點的數(shù)學(xué)本質(zhì).然后,我們在使用一般下降方向的LMM算法框架下,系統(tǒng)地討論各種步長搜索準(zhǔn)則的可行性,并建立完整的全局收斂性結(jié)果.這使得各種高效的優(yōu)化策略可以應(yīng)用到LMM算法中.特別地,我們提出全局收斂的Barzilai-Borwein（BB）型LMM、共軛梯度型LMM和L-BFGS型LMM三類新的LMM算法,用于改進傳統(tǒng)LMM算法的計算效率.最后,我們將新的LMM算法應(yīng)用于幾類半線性橢圓邊值問題、帶非線性邊界條件的橢圓問題和Kirchhoff型擬線性非局部問題的多解計算,并比較不同LMM算法的數(shù)值性能.廣泛的數(shù)值結(jié)果表明,這三類新的LMM算法能顯著地提高傳統(tǒng)LMM算法的計算效率.第二部分,我們研究計算無約束鞍點的基于新的優(yōu)化策略的虛擬幾何對象型LMM（VGOLMM）.首先,基于對一類廣義的VGOLMM動力系統(tǒng)的分析,我們提出使用一般下降方向的廣義VGO... 

【文章來源】：湖南師范大學(xué)湖南省 211工程院校

【文章頁數(shù)】：190 頁

【學(xué)位級別】：博士

【文章目錄】：
中文摘要
ABSTRACT
1 緒論
第二章 基于新的優(yōu)化策略的局部極小極大方法（LMM）
    2.1 推廣的局部極小極大原理與LMM的動力學(xué)觀點
        2.1.1 推廣的局部極小極大原理
        2.1.2 LMM的動力學(xué)觀點
    2.2 使用一般下降方向的LMM算法及其全局收斂性
        2.2.1 使用一般下降方向的LMM算法框架
        2.2.2 標(biāo)準(zhǔn)化Armijo、Goldstein和Wolfe-Powell型搜索準(zhǔn)則
        2.2.3 非單調(diào)搜索準(zhǔn)則
        2.2.4 全局收斂性分析
    2.3 三類高效的LMM算法
        2.3.1 全局收斂的Barzilai-Borwein型LMM（GBBLMM）
        2.3.2 共軛梯度型LMM（CGLMM）
        2.3.3 L-BFGS型LMM（LBFGSLMM）
    2.4 應(yīng)用于非線性邊值問題的多解計算
        2.4.1 半線性橢圓Dirichlet邊值問題
        2.4.2 帶非線性邊界條件的橢圓問題
        2.4.3 Kirchhoff型擬線性非局部問題
第三章 基于新的優(yōu)化策略的虛擬幾何對象型LMM
    3.1 使用虛擬幾何對象的LMM（VGOLMM）介紹
    3.2 基于廣義VGOLMM動力系統(tǒng)的局部極小極大原理
    3.3 基于新的優(yōu)化策略的VGOLMM及其全局收斂性
        3.3.1 廣義VGOLMM算法框架
        3.3.2 幾種典型的搜索準(zhǔn)則
        3.3.3 全局收斂性分析
        3.3.4 基于BB型步長的VGOLMM算法
        3.3.5 虛擬曲線的實現(xiàn)方法
    3.4 應(yīng)用于幾類W-型問題的多解計算
        3.4.1 散焦型非線性Schr?dinger方程
        3.4.2 Allen-Cahn型奇異攝動Neumann問題
第四章 計算玻色-愛因斯坦凝聚體基態(tài)解的新算法
    4.1 GFDN方法的局限性及其改進:帶 Lagrange乘子的梯度流法（GFLM）
        4.1.1 計算單組分BEC基態(tài)解的GFDN方法介紹
        4.1.2 計算單組分BEC基態(tài)解的GFLM方法
        4.1.3 多組分BEC情形（以spin-1 BEC為例）
        4.1.4 spin-1 BEC的數(shù)值結(jié)果
    4.2 計算一般spin-F BEC基態(tài)解的GFLM方法
        4.2.1 一般spin-F BEC的數(shù)學(xué)模型和一類廣義的CNGF
        4.2.2 計算一般spin-F BEC基態(tài)解的GFLM算法框架
        4.2.3 非精確投影策略及其約束違反度估計
        4.2.4 數(shù)值結(jié)果
第五章 計算約束鞍點的新算法和BEC激發(fā)態(tài)模擬
    5.1 約束鞍點的定義與不穩(wěn)定性指標(biāo)
    5.2 計算一般約束鞍點的約束最柔上升動力學(xué)（CGAD）方法
        5.2.1 最柔上升動力學(xué)（GAD）介紹
        5.2.2 約束最柔上升動力學(xué)（CGAD）
        5.2.3 計算高指標(biāo)約束鞍點的CGAD
    5.3 應(yīng)用CGAD方法計算單組分BEC激發(fā)態(tài)
        5.3.1 線性單組分BEC模型的激發(fā)態(tài)性質(zhì)
        5.3.2 計算單組分BEC激發(fā)態(tài)的CGAD及其離散格式
        5.3.3 數(shù)值結(jié)果
總結(jié)和未來工作展望
參考文獻
攻讀博士學(xué)位期間完成論文情況
致謝



本文編號：2954197