摘要：數(shù)學教學中的信息技術(shù)應(yīng)定位于數(shù)學功能基礎(chǔ)上的教學工具，以反映數(shù)學學科特性。數(shù)學教學需要注重圖形圖像呈現(xiàn)、數(shù)值計算、符號運算以及編程等基本數(shù)學功能。數(shù)學功能基礎(chǔ)上的教學加工大致有封閉與開放兩種方式。教師要能充分發(fā)揮各類功能的優(yōu)勢，以幫助學生理解學習內(nèi)容為目的，將數(shù)學教學與信息技術(shù)有機融合。

 

    關(guān)鍵詞：數(shù)學教學，信息技術(shù)，數(shù)學功能
 

    一、引言

    信息技術(shù)的飛速發(fā)展是改進數(shù)學教學的重要機遇。但是我們不應(yīng)當把信息技術(shù)停留在評價、熱情支持以及懷有希望的階段，而應(yīng)該進行一些實在分析，只有這樣才能真正地解決某些教學問題[1]。深入數(shù)學學科的信息技術(shù)[2]、整合技術(shù)的學科教學知識（簡稱TPACK）[3]等理念有助于我們更好地理解數(shù)學教學中的信息技術(shù)。這些理念主要體現(xiàn)在兩個方面：首先，要不要用技術(shù)、用什么技術(shù)以及如何用技術(shù)需要考慮具體內(nèi)容的教學及課堂情境，力求使課內(nèi)與課外、教師傳授與學生自主探究達成一種平衡。也就是說，信息技術(shù)的使用是一個劣構(gòu)問題。教師僅僅了解一般教育技術(shù)的原理、策略還不夠。其次，為了充分體現(xiàn)信息技術(shù)的數(shù)學教育價值，教師對數(shù)學學科的信息技術(shù)本身要有較為深入的理解與掌握，以便信息技術(shù)與課程的互動能達到流暢程度。盡管讓教師在教育和技術(shù)之間穿梭并不容易，但掌握技術(shù)不是別人的事情。為了能更好地貫徹這兩個理念，我們認為，數(shù)學教學中的信息技術(shù)是數(shù)學功能基礎(chǔ)上的教學工具。

    二、數(shù)學教學中的信息技術(shù)

    當前，數(shù)學課堂上的信息技術(shù)過分倚重普適類信息技術(shù)，缺少數(shù)學味，更無法反映數(shù)學學科特點。信息技術(shù)的功能更多地體現(xiàn)在一般教學功能（如電子白板，PPT演示）、多媒體功能（如音樂、顏色）、淺層交互功能（如瀏覽頁面）等方面。針對數(shù)學教學的信息技術(shù)應(yīng)該有專門的分類和討論。

    我們認為，按與教學內(nèi)容相關(guān)程度分，用于數(shù)學教學的信息技術(shù)大致有三類。一是普適類的數(shù)學軟件。如計算機代數(shù)系統(tǒng)（簡稱CAS），數(shù)學百科電子詞典等。二是普適類的數(shù)學教學工具（或平臺）。如Z+Z智能平臺、幾何畫板、數(shù)學科目的題庫系統(tǒng)或備課系統(tǒng)等。三是反映特定數(shù)學教學內(nèi)容的課件，包含了常見的CAI的七種類型[4]。如教學演示課件、微世界環(huán)境、微課視頻等。

    三類技術(shù)中，普適類數(shù)學軟件的數(shù)學功能最強，但教育功能最弱，通常需要教學加工。而課件，即第三類信息技術(shù)，比較關(guān)注信息技術(shù)的教學功能表現(xiàn)。信息技術(shù)應(yīng)該是數(shù)學為基礎(chǔ)的工具還是教學為基礎(chǔ)的工具[5]？事實上，這兩者各有優(yōu)缺點，前者數(shù)學概念轉(zhuǎn)移能力弱，即教育性不足；后者難以作為學生的認知工具，且缺少通用性，軟件設(shè)計效益低。為了能彌合兩者的距離，專家們研究出了諸如Z+Z智能平臺之類的普適類數(shù)學教學工具。許多CAS在后來的版本中也加入了大量便于數(shù)學教學開發(fā)和加工的元素。針對特定內(nèi)容的數(shù)學課件也在通用性上不斷增強，如注重探究性、交互性課件的開發(fā)等。

    三類信息技術(shù)都可以實現(xiàn)計算機對數(shù)學學習活動的三種水平的支持，即演示水平、驗證水平和探究水平，如數(shù)學工具中的大百科詞典可以作為資料支持或演示之用，而數(shù)學軟件包Mathematica可以作為數(shù)學探究環(huán)境。因此，由演示到探究也可以作為以上分類的另一個標準（或維度）。

    三類信息技術(shù)都能體現(xiàn)一定的數(shù)學功能與教育價值。但數(shù)學教學需要抽象、復雜的圖形圖像、數(shù)值及符號表達與處理，以滿足較高層次數(shù)學思維表征需求；需要嚴謹、精確和形式化的數(shù)學活動過程描述；需要豐富的與數(shù)學研究相適應(yīng)的探索性認知環(huán)境。因而，我們認為，數(shù)學教學中的信息技術(shù)應(yīng)以數(shù)學功能為基礎(chǔ)，在設(shè)計和開發(fā)目的、內(nèi)容方面能反映數(shù)學學科特性，以更好地體現(xiàn)數(shù)學教育價值。
    三、信息技術(shù)的數(shù)學功能及其教育價值

    信息技術(shù)可以實現(xiàn)的數(shù)學功能很多。數(shù)學教學主要以圖形圖像呈現(xiàn)、數(shù)值計算與符號運算、編程等作為主要功能。數(shù)學教學中，它們的教育價值應(yīng)

    該得到充分體現(xiàn)。下面以微積分教學為例進行闡述。

    1．圖形圖像演示

    總體而言，目前的數(shù)學教學，特別是概念教學是“重形式定義，輕意象表征”[6]的。由于擔心過多使用圖形圖像可能會影響抽象思維，許多教師不敢用。事實上，圖形圖像的適當運用能提高學習效率，也能體現(xiàn)教師的教學智慧。數(shù)學教學中的“圖形圖像”主要是函數(shù)繪圖和動態(tài)幾何圖形兩方面。它的作用主要是促進學生對概念和數(shù)學問題的整體理解，能幫助其洞察所學數(shù)學內(nèi)容本質(zhì)，尋找解決復雜問題的途徑。如教學導數(shù)概念時，需要將函數(shù)、其導函數(shù)及二階導數(shù)甚至更高階數(shù)的圖像進行比較、分析。用圖像來解釋復合函數(shù)求導法則、洛必達法則等也應(yīng)該能在教材或教學中得到體現(xiàn)，讓學生理解用它們進行運算的合理性或理由，而不僅僅學習導數(shù)運算技能與技巧。

    2．數(shù)值計算

    傳統(tǒng)的數(shù)學教學更多表現(xiàn)的是數(shù)學的連續(xù)、形式化的一面，給學生留下抽象、脫離生活實際的印象。事實上，數(shù)值計算功能和繪圖功能一樣具有理解數(shù)學知識、探尋解題途徑等作用，理應(yīng)得到重視[7]。數(shù)值化是由有限認識無限的重要方式，也是聯(lián)系一般化與特殊化的重要紐帶。運用數(shù)值表理解極限、用數(shù)據(jù)估計誤差、通過離散形態(tài)考察函數(shù)的連續(xù)性態(tài)、尋找數(shù)學反例等等都應(yīng)該在教學中得到廣泛應(yīng)用。微積分中的廣義積分與無窮級數(shù)、函數(shù)極限與數(shù)列極限的密切聯(lián)系更表明連續(xù)化與數(shù)值化應(yīng)該融為一爐。教學實踐表明，數(shù)學過于形式化的表達反而看不清數(shù)學知識的本來面貌，而將這些內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)值計算，會增進理解。例如，利用ε-δ定義證明函數(shù)極限時，學生都知道，關(guān)鍵要找出δ。他們也能熟練地利用放縮技巧和限定δ的方法進行操作，找到δ。但進一步問：能通過計算（通常情況下需要計算工具的支持），找到最大的δ？事先限定δ的鄰域能否再大一點？學生并不熟練。這時，只要給定幾個具體的ε值，計算出δ，學生會對證明過程有更深刻的認識，不至于依葫蘆畫瓢。

    3．符號運算

    符號運算是信息技術(shù)數(shù)學功能重要體現(xiàn)。比起數(shù)值計算，符號運算不必糾結(jié)于誤差控制。無論是輸入、處理還是顯示，它能更好地與注重形式化、符號化的數(shù)學學科相匹配，進而滿足學生在更高抽象層次上進行思考與探究，使形式化的符號也能成為學生高層次的數(shù)學認知基礎(chǔ)，也可以成為導引直覺與發(fā)現(xiàn)的材料，而不僅限于數(shù)值與圖形[1]。簡單地，如二項式定理中系數(shù)的探討。微積分教學中，符號運算的功能更能充分體現(xiàn)。如函數(shù)極限lim（x）=Af  x→xo定義可用計算機可識別的邏輯符號表達并運算：坌（εε＞0）→堝（δδ>0∧）坌（x0<|x-x0|<δ→|f（x） -A|<ε））），這有助于學生理解定義中的邏輯關(guān)系。

    4．編程

    編程并非只是計算機技術(shù)專業(yè)人員的事務(wù)。數(shù)學領(lǐng)域與計算機領(lǐng)域有著天然的聯(lián)系。數(shù)學教師了解算法、編程思想和一種計算機語言是必要的，也是可行的。程序設(shè)計是通向?qū)嶒灁?shù)學之路[5]。僅僅通過一步到位的繪圖或計算并不能挖掘數(shù)學信息技術(shù)的教育潛力。有了編程可以表現(xiàn)教學中的更加復雜的活動過程（如添加參數(shù)調(diào)節(jié)，拖動數(shù)學對象等），可以把復雜、抽象的推理過程轉(zhuǎn)化為易理解的機械化過程（如選代，構(gòu)造）。

    目前許多數(shù)學軟件或教學軟件提供的編程環(huán)境已變得非常簡單，復雜的數(shù)學功能只需一個簡單、封裝好的函數(shù)甚至可視化的控件對象即可實現(xiàn)，是一種廣義上的程序設(shè)計。這樣的編程環(huán)境有助于教師將編程重心放在信息技術(shù)的數(shù)學功能及教學功能表現(xiàn)方面，而不是過程化語言的構(gòu)建技巧上。

    實際教學應(yīng)該將幾種功能相結(jié)合（典型的如數(shù)形結(jié)合）才能更加充分發(fā)揮教育效能。目前許多專業(yè)的數(shù)學軟件或數(shù)學教學平臺已有一整套完善的界面交互設(shè)計功能，便于把教學設(shè)計用技術(shù)以“所見即所得”的方式表達出來。用它們制作數(shù)學功能強大、針對具體教學內(nèi)容的課件也比傳統(tǒng)方法更容易一些。

    四、數(shù)學功能的兩種教學加工方式

    數(shù)學教學中，上述數(shù)學功能的教學加工方式大致有兩種：第一種方式是教學中常見的，即將教學內(nèi)容及策略與數(shù)學功能融為一體，制作成固定操作和呈現(xiàn)模式的課件。第二種方式是教學內(nèi)容及策略與數(shù)學功能分離。例如，學習“利用定積分求平面圖形面積”時，信息技術(shù)可以幫助師生完成這樣的工作：①給出任意兩個函數(shù)；②用計算機繪圖工具畫出它們圖形，觀察其形狀及交點個數(shù)；③用CAS求解方程，求出所有交點的坐標；④用CAS計算交點之間的積分；⑤求各段積分和。無論是函數(shù)繪圖、方程求解還是積分運算，數(shù)學功能的表現(xiàn)都是以獨立的工具存在，就像粉筆一樣。即使上述教學設(shè)計有所改變，如改變函數(shù)類型、個數(shù)，所需的數(shù)學功能或工具仍可適用。這無疑增強了信息技術(shù)應(yīng)用的靈活性。

    信息技術(shù)的教育價值體現(xiàn)在具體的教學情境中。無論哪種方式，只要教師的教學設(shè)計與其所用的信息技術(shù)的潛在教育價值同步，就能很好地將數(shù)學形態(tài)的信息技術(shù)教育化。當前數(shù)學教學中，第一種加工方式雖然常見，制作和運用方法也很成熟。但這種加工方式不但效率不高，而且其固定性與封閉性不便于課件中的數(shù)學功能的靈活展現(xiàn)，不能滿足深層次數(shù)學思維的需求。因此，信息技術(shù)的數(shù)學功能應(yīng)以更加開放的、獨立的形態(tài)得到應(yīng)用，甚至以“無課件”的方式得到應(yīng)用，就像直接用字處理軟件環(huán)境進行作文教學一樣。只有這樣，數(shù)學教學中的信息技術(shù)才可能真正成為學生的認知工具、思維工具。同時，這也是使數(shù)學教學與信息技術(shù)整合更加有效的重要手段。

    五、數(shù)學教學中的信息技術(shù)應(yīng)用建議

    1．技術(shù)角度：既要了解各種數(shù)學功能的教學優(yōu)勢與缺陷，又要防止“功能固著”

    實現(xiàn)數(shù)學功能的各種信息技術(shù)有自己的傾向、偏見和內(nèi)在屬性，這使它們在具體的教學任務(wù)中有比其它技術(shù)更加適用的地方。同時，現(xiàn)代信息技術(shù)與傳統(tǒng)教技術(shù)不一樣，具有功能不透明，發(fā)展變化快等特點。同樣的《幾何畫板》軟件，既可以用于作為制作演示課件的平臺，也可用于學習的探究；既可用于平面幾何，也可以用于解析幾何甚至大學數(shù)學的教學。智能教學平臺、CAS等更是如此。所以，教師在了解各種數(shù)學功能的同時，也要能不斷跟蹤數(shù)學信息技術(shù)發(fā)展狀況，努力挖掘信息技術(shù)的教學潛力。這對教師提出了較高的信息技術(shù)能力要求。

    2．教學角度：增進理解

    數(shù)學教學中，使用數(shù)學功能的目的多種多樣。但我們認為，促進學生理解所學知識的目的尤為重要。“說一個數(shù)學概念、方法或事實是徹底地理解了，是指它和現(xiàn)有的‘智力網(wǎng)絡(luò)’是由更強的或更多的聯(lián)系聯(lián)結(jié)著”。學生對抽象知識的內(nèi)部表征應(yīng)該以豐富、獨特、具體的形象存在。通過適當信息技術(shù)支持，可以將這些表征與聯(lián)系外化，加強聯(lián)結(jié)，促進“頓悟”與理解。數(shù)學學科內(nèi)容較抽象。教學過程忽視理解，容易導致學生學習過程的機械化。而信息技術(shù)的數(shù)學功能能夠很好地實現(xiàn)這些重要數(shù)學概念或活動過程的符號、數(shù)值和圖形的表征與關(guān)聯(lián)。

    六、結(jié)束語

    數(shù)學學習內(nèi)容的形式化、抽象性、嚴謹性，都會給學習者帶來學習上的困難。因此，教學活動需要利用信息技術(shù)的數(shù)學功能“淡化形式、注重實質(zhì)”，提供即時驗證、反饋環(huán)境，在增進理解、強化應(yīng)用和培養(yǎng)創(chuàng)新能力上下功夫，促進學生知識水平的垂直增長。教學實踐表明：基于數(shù)學功能的教學設(shè)計，可以讓教師從“用信息技術(shù)就是用課件”的臼窠中跳出來，真正把信息技術(shù)看成與黑板和粉筆一樣的教與學的工具，切實改進傳統(tǒng)數(shù)學教學的不足。如部分內(nèi)容可以按歷史或認知順序進行教學，而不僅僅依靠邏輯順序；實現(xiàn)抽象知識的表征多元化與聯(lián)結(jié)；更好地處理合情推理與演繹推理、一般化與特殊化、具體與抽象的矛盾關(guān)系；把學生自主探究、解決實際問題能力的培養(yǎng)落到實處等等。

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