發(fā)布時間：2020-10-13 05:35

　　 不同尺度耦合效應(yīng)在自然科學(xué)和實際工程應(yīng)用中普遍存在,例如化學(xué)工程中的周期振蕩反應(yīng),生物群落的生滅演化,神經(jīng)元細(xì)胞膜的簇發(fā)放電活動以及繩系衛(wèi)星不同尺度引起的快慢行為等。因此,國內(nèi)外的非線性動力學(xué)專家針對動力系統(tǒng)中存在的不同尺度耦合效應(yīng)展開了廣泛且深入的研究。本文主要致力于研究三維連續(xù)時間動力系統(tǒng)的快慢動力學(xué)行為,其中主要的內(nèi)容如下幾個方面:1、對于普遍存在不同尺度耦合效應(yīng)的動力系統(tǒng),其可以分離為快慢子系統(tǒng)相互耦合的形式。通常地,這些系統(tǒng)的快子系統(tǒng)和慢子系統(tǒng)彼此相互作用,而本文中則主要專注慢子系統(tǒng)單向耦合快子系統(tǒng)的形式,即快子系統(tǒng)對慢子系統(tǒng)無任何的反饋。二者快慢形式的不同導(dǎo)致了其動力學(xué)行為的較大差異。在快慢子系統(tǒng)相互耦合的情形下,系統(tǒng)的周期簇發(fā)呈現(xiàn)出“自發(fā)的”特性;而在快慢系統(tǒng)單向耦合情形下,系統(tǒng)軌跡往往表現(xiàn)為“被驅(qū)動的”形式,因為慢子系統(tǒng)僅表達為依賴于慢變量的函數(shù)。因此,在慢子系統(tǒng)的單向耦合下,系統(tǒng)軌跡往往會呈現(xiàn)出更豐富的運動形式。2、添加外激勵項之前,原三維連續(xù)時間向量場為自治系統(tǒng),添加外激勵項之后,系統(tǒng)由自治變?yōu)榉亲灾巍Ｃ鞔_的是,非自治系統(tǒng)僅存在“瞬時的平衡點”,即固定時間t至某一時刻,非自治系統(tǒng)某些點表現(xiàn)出“不動的”特性,然而隨著時間t的變化,“瞬時的平衡點”的位置會發(fā)生改變。違反直覺的是,這些“瞬時平衡點”的序列甚至并不是非自治系統(tǒng)的解。我們將添加慢變周期外激勵項的非自治系統(tǒng)作變量代換,以激勵整體作為新的系統(tǒng)狀態(tài)變量,隨后將系統(tǒng)做快慢分離,令非自治系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為廣義自治系統(tǒng)形式。此時,對快子系統(tǒng)進行平衡點分析將變得可行。3、由于周期外激勵慢變的特性,我們將其整體視為廣義的系統(tǒng)參數(shù),亦即控制參數(shù)w。進一步地,因為控制參數(shù)w的存在,快子系統(tǒng)平衡點分枝數(shù)量和位置發(fā)生改變。這使得我們針對快子系統(tǒng)的分岔分析變得非平凡,因為其平衡點總是不位于原點,進而平衡點的計算分析過程將會變得更加復(fù)雜。4、在文章中,我們分別應(yīng)用了快慢分析、穩(wěn)定性分析和分岔分析對外激勵作用下的系統(tǒng)進行研究和探討。進一步地,分別驗證了幾種類型的余維一分岔和余維二分岔,即叉形分岔(PB)、Andronov-Hopf分岔(HB)和Double Zero分岔(BT)。在這里,我們詳細(xì)地推導(dǎo)和驗證了幾種分岔的發(fā)生條件。其中,通過應(yīng)用參數(shù)化擴展系統(tǒng)、中心流形定理和規(guī)范型理論,驗證了發(fā)生Andronov-Hopf分岔(HB)的三個條件和討論了叉形分岔(PB)附近平衡點分枝的性態(tài)變化;此外,我們計算得到了Double Zero分岔(BT)的二階和三階臨界規(guī)范型,證實了它的非退化性。5、本文針對一類Z_2對稱型三維系統(tǒng)的簇發(fā)機制進行探討,進而我們定義了幾種新型模式的周期簇發(fā)。其中既有非對稱型簇發(fā),亦有對稱型簇發(fā),且隨著激勵振幅的發(fā)展,非對稱型簇發(fā)相互作用而形成對稱型簇發(fā)。此外,一類非對稱型三維向量場更是觸發(fā)了余維二分岔的周期簇發(fā)振蕩。
【學(xué)位單位】：江蘇大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位年份】：2019
【中圖分類】：O322
【部分圖文】：

)0*G x ，則對于小參數(shù) ，存在r 1C 余維一表面上有 0* GxGx。因為( 0,0) 0xG ，則有 ( 0,0) 0 G 。引進控制參數(shù) ((),)* Gx ，此時限制方程可以表示為：dx dt G( x, ( ))(2.8)將點 (())*x 移動到原點，引入線性變換 *x x，則上述方程改寫為：(;())2()*22d dtGx GG G o xxx (2.9)最后，我們得到：(,)22d dt l G (2.10)這里 G 關(guān)于 為rC 光滑且關(guān)于 為r 1C 光滑，并且有 G ( 0, ) 0，( 0, ) 0 G ， ( 0, ) 0 G 。上述方程為一般系統(tǒng)在鞍結(jié)分岔處的一般形式，事實上，截斷其高階項，我們得到鞍結(jié)分岔的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范型。其平衡點數(shù)量變化和分岔圖如圖 1.1 和圖 1.2 所示。(a) (b)

)0*G x ，則對于小參數(shù) ，存在r 1C 余維一表面上有 0* GxGx。因為( 0,0) 0xG ，則有 ( 0,0) 0 G 。引進控制參數(shù) ((),)* Gx ，此時限制方程可以表示為：dx dt G( x, ( ))(2.8)將點 (())*x 移動到原點，引入線性變換 *x x，則上述方程改寫為：(;())2()*22d dtGx GG G o xxx (2.9)最后，我們得到：(,)22d dt l G (2.10)這里 G 關(guān)于 為rC 光滑且關(guān)于 為r 1C 光滑，并且有 G ( 0, ) 0，( 0, ) 0 G ， ( 0, ) 0 G 。上述方程為一般系統(tǒng)在鞍結(jié)分岔處的一般形式，事實上，截斷其高階項，我們得到鞍結(jié)分岔的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范型。其平衡點數(shù)量變化和分岔圖如圖 1.1 和圖 1.2 所示。(a) (b)

Andronov-Hopf 分岔（HB）的規(guī)范型系數(shù)s取定時，隨著參數(shù) 的改變，其極限環(huán)的變化的情況如圖 1.5 所示。顯然，系數(shù)s 的符號不同，其對應(yīng)的極限環(huán)的穩(wěn)定性也是截然不同，詳情見于圖 1.6。5、Double Zero 分岔（BT）Double Zero 分岔（BT）的一般規(guī)范型形式并不唯一，在這里我們只給出其中常見的一種形式，并給出其對應(yīng)的分岔圖（圖 1.7）：12d dt （2.14）()312221211d dt s o
【參考文獻】

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1 陳章耀;雪增紅;張春;季穎;畢勤勝;;周期切換下Rayleigh振子的振蕩行為及機理[J];物理學(xué)報;2014年01期

2 李向紅;畢勤勝;;Bursting oscillation in CO oxidation with small excitation and the enveloping slow-fast analysis method[J];Chinese Physics B;2012年06期

3 李向紅;畢勤勝;;鉑族金屬氧化過程中的簇發(fā)振蕩及其誘發(fā)機理[J];物理學(xué)報;2012年02期

4 陳章耀;張曉芳;畢勤勝;;廣義Chua電路簇發(fā)現(xiàn)象及其分岔機理[J];物理學(xué)報;2010年04期

5 張曉芳;陳章耀;季穎;畢勤勝;;周期激勵下廣義蔡氏電路混沌運動中的概周期行為[J];力學(xué)學(xué)報;2009年06期

本文編號：2838795